Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. В статье рассказываем, как и каким знаком обозначается интеграл в математике, какие правила интегрирования и какие действия можно выполнить с интегралами. А в конце делимся способами вычисления и решения интегралов.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале .
Изучаем понятие «интеграл»
Само название интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц , но суть вещей не изменилась.
Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных , необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.
Неопределенный интеграл
Пусть у нас есть какая-то функция f(x) .
Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x) , производная которой равна функции f(x) .
Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.
Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Порядок нахождения интеграла называется интегрированием.
Простой пример:
Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их символы удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.
Полная таблица интегралов для студентов
Определенный интеграл
Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить часть площади фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.
В качестве примера представим себе график какой-нибудь знакомой функции.
Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:
Точки а и b называются пределами интегрирования.
Что такое интегрирование
Интегрирование — это математическая операция, обратная дифференцированию.
Говоря простыми словами, если дифференцирование позволяет найти скорость изменения чего-либо, то интегрирование помогает восстановить исходную функцию по этой скорости. Представьте, у вас есть график скорости автомобиля. Интегрирование этой скорости позволяет узнать, какое расстояние автомобиль преодолел за определенное время. Это как сложение бесконечно малых частей, чтобы получить целое. В более общем понимании, интегрирование – это способ вычисления площади под кривой графика функции, а также объема тела, ограниченного поверхностями.
Предположим, у нас есть функция f(x) = 2x. Интегрирование этой функции даст нам F(x) = x² + C, где C - константа интегрирования. Это потому, что производная от x² равна 2x. Чтобы убедиться, что это работает, мы можем взять производную от F(x), и она должна снова дать нам f(x). Действительно, производная от x² + C равна 2x.
«Интеграл»
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Правила вычисления интегралов для чайников
Свойства неопределенного интеграла
Как рассчитать неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.
- Производная от интеграла равна подынтегральной функции:
- Константу можно выносить из-под знака интеграла:
- Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:
Свойства определенного интеграла
- Линейность:
- Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:
- При любых точках a , b и с :
Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница .
Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:
Примеры решения интегралов
Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.
Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.
Способы решения интегралов
Не все интегралы можно решить аналитически, то есть найти точную формулу для их значения. В таких случаях прибегают к численным методам, которые помогают приблизительно вычислить интеграл с заданной точностью. Рассмотрим три популярных численных метода: метод прямоугольников, метод трапеций и метод Симпсона.
Метод прямоугольников
Метод прямоугольников — самый простой для понимания и реализации численный метод интегрирования. Идея заключается в том, чтобы разделить область под кривой на множество узких прямоугольников и просуммировать их площади. Чем больше прямоугольников, тем точнее будет приближение.
Как это работает:
- Определяем отрезок интегрирования [a, b] и делим его на n равных частей (подынтервалов) длиной h = (b - a) / n.
- Выбираем точку на каждом подынтервале, обычно, левую, правую или среднюю.
- Вычисляем значение функции f(x) в выбранной точке каждого подынтервала.
- Площадь каждого прямоугольника равна f(x) * h.
- Суммируем площади всех прямоугольников, получая приближенное значение интеграла.
Метод прямоугольников в зависимости от выбора точки на подынтервале делится на три основных варианта:
- Метод левых прямоугольников: значение функции берется в левой точке каждого подынтервала.
- Метод правых прямоугольников: значение функции берется в правой точке каждого подынтервала.
- Метод средних прямоугольников: значение функции берется в середине каждого подынтервала. Этот вариант, обычно, обеспечивает более высокую точность по сравнению с двумя предыдущими.
Недостатки: метод прямоугольников достаточно грубый, особенно, при небольшом количестве прямоугольников. Погрешность может быть значительной, особенно, если функция сильно меняется на отрезке интегрирования.
Метод трапеций
Метод трапеций представляет собой улучшение метода прямоугольников. Вместо прямоугольников область под кривой аппроксимируется трапециями. Это помогает более точно учесть изменение функции на каждом подынтервале.
Как это работает:
- Отрезок интегрирования [a, b] делится на n равных частей длиной h = (b - a) / n.
- Вычисляются значения функции f(x) в точках деления отрезка.
- Значит, площадь каждой трапеции вычисляется как h * (f(xi) + f(xi+1)) / 2, где xi и xi+1 – границы i-го подынтервала.
- Суммируются площади всех трапеций, получая приближенное значение интеграла. В этом случае получается формула (h/2) * (f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + … + 2f(xn-1) + f(xn))
Преимущества: метод трапеций обеспечивает более высокую точность по сравнению с методом прямоугольников, особенно, для гладких функций.
Недостатки: погрешность метода трапеций все еще может быть значительной для функций с резкими изменениями или при небольшом количестве трапеций.
Метод Симпсона (метод парабол)
Метод Симпсона, также известный как метод парабол — самый точный численный метод интегрирования. В этом методе область под кривой аппроксимируется параболами.
Как это работает:
- Отрезок интегрирования [a, b] делится на n равных частей (где n – четное число) длиной h = (b - a) / n.
- Вычисляются значения функции f(x) в точках деления отрезка.
- Для каждой пары соседних подынтервалов строится парабола, проходящая через три точки: f(xi), f(xi+1) и f(xi+2).
- Площадь под параболой вычисляется.
- Суммируются площади под всеми параболами, получая приближенное значение интеграла. Получается формула (h/3) * (f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + … + 2f(xn-2) + 4f(xn-1) + f(xn))
Преимущества: метод Симпсона обеспечивает очень высокую точность, особенно, для гладких функций. Он часто используется, когда требуется высокая точность интегрирования.
Недостатки: требует четного числа подынтервалов. Метод Симпсона может быть менее эффективным для функций с резкими изменениями или разрывами.
Теперь вы знаете, как правильно интегрировать, а если возникнут вопросы, обращайтесь в студенческий сервис.
